ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
численные методы - раздел вычислительной математики, посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов.
Численные методы В. и. принято разделять на два больших класса: непрямые и прямые методы. Непрямые методы основаны на использовании необходимых условий оптимальности (см. Вариационное исчисление, Эйлера уравнение, Вейерштрасса условия, Трансверсальности условие, Понтрягина принцип максимума), с помощью к-рых исходная вариационная задача сводится к краевой задаче. Поэтому вычислительные достоинства и недостатки непрямых методов полностью определяются свойствами соответствующей краевой задачи. Прямые методы ориентированы на непосредственное отыскание экстремума функционала. Используемые при этом методы оптимизации являются развитием идей математнч. программирования.
Разделение численных методов В. и. на прямые и непрямые весьма условно. Нек-рые алгоритмы используют элементы обоих подходов. Кроме того, существуют методы, к-рые непосредственно не относятся к двум выделенным классам. Например, методы, основанные на достаточных условиях оптимальности, образуют самостоятельную группу.
Первые численные методы В. и. появились в работах Л. Эйлера (L. Euler). Однако наибольшее развитие они получили с 50-х гг. 20 в. в результате распространения вычислительной техники и открывшейся в связи с этим возможностью решения сложных технич. задач. При этом разработка численных методов В. и. шла в основном применительно к задачам теории оптимального управления - наиболее важного для практич. приложений раздела В. и. (см. Оптимального управления математическая теория).
Непрямые методы. С появлением принципа максимума Понтрягина (1956) сведение вариационных задач к краевым стало особенно популярным.
Пусть в задаче оптимального управления требуется найти траекторию 
при дифференциальных связях:
граничных условиях:
и ограничениях на управление:
где 
Согласно принципу максимума Понтрягина, оптимальное управление 
где 
Из условия (6) находится управление 
Наиболее распространенной схемой численного решения этой краевой задачи является схема, использующая метод Ньютона с дроблением шага (см. [3]). При этом вводится вектор невязки
где значение 
Решение системы (9) проводится Ньютона методом;используемые при этом частные производные
определяются численно по формуле
где значения 
Для определения частных производных известен более точный, но громоздкий метод (см. [4]), в к-ром используется интегрирование системы 2n уравнений в вариациях для системы (2), (7).
Трудности в использовании метода Ньютона связаны, во-первых, с проблемой выбора удачного начального приближения для 
В тех случаях, когда граничные условия и функционал заданы в более общем виде, чем в (3), (4) и (1) [напр., Больца задача с подвижными концами, вариационная задача со свободными (подвижными) концами], к необходимым условиям оптимальности (6), (7) добавляются трансверсальности условия. После исключения входящих в эти условия произвольных постоянных получаются замкнутая краевая задача и отвечающая ей система уравнений типа (9).
Решение системы (9) может отыскиваться любым другим методом, применяемым для решения нелинейных систем.
Специфич. методы разработаны для решения краевых задач частного вида. Так, линейные краевые задачи решаются методом переноса граничных условий (прогонки метод). Этот метод также используется в качестве составного элемента для итеративного решения .нелинейных краевых задач (см. [1]).
Эффективность и относительная простота реализации непрямых методов на ЭВМ сделали их весьма распространенным средством для решения задач вариационного исчисления. Однако эти методы не стали универсальными: для некоторых важных классов задач В. и., например, содержащих фазовые ограничения, выписывание необходимых условий оптимальности затруднено и приводит к краевым задачам со сложной структурой. Кроме того, необходимые условия не гарантируют, что найденное решение доставляет относительный экстремум функционалу. Для проверки приходится привлекать достаточные условия оптимальности. Все это ограничивает сферу применения непрямых методов.
Прямые методы. Первый прямой метод был предложен Л. Эйлером для решения простейшей задачи В. и. Этот метод известен под названием метода ломаных Эйлера (или конечно разностного метода Эйлера) и заключается в том, что функционал
рассматривается на непрерывных ломаных x(t), удовлетворяющих заданным граничным условиям
и состоящих из Nпрямолинейных отрезков с заданными абсциссами концов. Таким образом, функционал превращается в функцию от ординат вершин этих ломаных, а исходная задача - в задачу минимизации функции многих переменных (см. Эйлера метод).
Из-за сложности подобных задач для ручного счета прямые методы долгое время оставались в стороне от традиционных исследований по В. и. Интерес к ним вновь возрос в нач. 20 в. Были предложены новые способы редукции к задаче об отыскании экстремума функции многих переменных. Наиболее важным из них является Ритца метод, согласно к-рому решение задачи о минимуме (10) при условии (11) разыскивается на классе функций вида
где 
Задача сводится к отысканию минимума функции Nпеременных
Метод Ритца является достаточно общим. Он применяется для решения вариационных задач математич. физики, заключающихся в минимизации функционала, зависящего от функций многих переменных. Его дальнейшим обобщением для данного класса задач является метод (см. [2]), в к-ром коэффициенты считаются неизвестными функциями одного из независимых переменных (напр., если в задаче две независимые переменные tи 
Потребности практики увеличили интерес к неклас-сич. задачам оптимального управления. Наличие в технич. задачах сложных ограничений на фазовые координаты и управляющие функции, разрывность правых частей дифференциальных уравнений, возможность существования особых и скользящих оптимальных режимов и т. д.- все это потребовало разработки новых разновидностей прямых методов. Наибольшее распространение получили методы, использующие идеи спуска в пространстве управлений и идеи последовательного анализа вариантов (типа динамического программирования).
Методы спуска в пространстве управлений основаны на получении последовательности управлений 
к-рой соответствует монотонно убывающая последовательность значений функционала. Пусть, напр., ищется минимум функционала
при условиях (2), (3) и (5) (U - выпуклое и односвяз-ное множество). Отыскание 
линейная часть приращения функционала (13) от вариации 
Для уменьшения функционала (13) следует на каждой итерации выбирать приращение
где величина 
К градиентным методам примыкает метод [9], в к-ром приращение управления определяется из решения вспомогательной задачи линейного программирования. Большая группа прямых методов численного решения задач оптимального управления овнована на идеях последовательного анализа вариантов.,(см. [10], [11], [12]). Важным достоинством этих методов является то, что с их помощью удается решать задачи с фазовыми ограничениями вида
где С - замкнутое множество n-мерного пространства. Их основной недостаток - существенное возрастание трудностей с увеличением размерности пространства. Эти методы используют редукцию исходной задачи к задаче нелинейного программирования специального вида. Распространены два способа такой редукции. Согласно первому способу в конечном итоге получается задача минимизации функции, зависящей только от управлений, заданных в точках дискретной сетки на оси (см. [13]), Во втором способе (см. [12]) управление исключается и задача сводится к минимизации функции вида
где 
к-рые получаются из ограничений (3), (4), (15). Для пояснения схемы решения задачи минимизации (16) при условиях (17) удобно использовать следующую геометрич. интерпретацию. Каждой совокупности векторов 
На нулевом шаге определяется функция
т. е. длина кратчайшего звена, соединяющего каждую точку x1 ОS1 с гиперплоскостью е 0. Так как
то множество ломаных 
соединяющая каждую точку 
соединяющая каждую точку 
Формула (18) - рекуррентное соотношение, описывающее многошаговый процесс отыскания решения. На этом соотношении основаны динамич. программирование н принцип оптимальности Беллмана.
В соответствии с (18) необходимо отыскивать минимум на множествах 
-длина отрезка, соединяющего два узла kи s всоседних гиперплоскостях, 
где минимум берется по номерам kвсех узлов, к-рые лежат в допустимой области 
Лит.:[1] Моисеев Н. Н., Численные методы в теории оптимальных систем, М., 1971; [2] Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., М.- Л., 1962: [3] Исаев В. К., Сонин В. В., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1965, т. 5, № 2, с. 252-61; [4] Джурович С., Макинтайр Д., "Ракетная техника", 1962, JMS 9, с. 47-53; [5] Денхэм В., Брансон В., "Ракетная техника и космонавтика", 1964, № 1, с. 34-47; [6] Шатровский Л. И., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1962, т. 2, № 3, с. 488-91; [7] Энеев Т. М., (.Космические исследования", 1966, т. 4, вып. 5, с. 651-69; [8] Крылов И. А., Черноусько Ф. Л., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1962, т. 2, № 6, с. 1132-9; [9] Федоренко Р. П., там же, 1964, т. 4, № 6, с. 1045-64; [10] Беллиан Р., Динамическое программирование, пер. с англ., М., 1960; [11] Михалевич B.C., "Кибернетика", 1965, № 1, с. 45-46; [12J Моисеев Н. Н., там же, 1966, № 3. с. 1 - 29; [13] Ермольев Ю. М., Гуленко В. П., там же, 1967, № 3, С. 1-20. И. Б. Вапнярский, И. А. Ватель.
Смотреть больше слов в «Математической энциклопедии»
Смотреть что такое ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ в других словарях:
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII ст. многие знаменитые геометры, как, напр., Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Л... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов — переменных величин, зависящих ... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Вариационное исчисление — История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII столетия многие знаменитые геометры, как, например, Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: "Philosophiae naturalis principia mathematica", а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода — вопрос о виде <i>брахистохроны</i>, предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером ("Меthod u s inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes..." 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. "Th é orie des Fonctions analytiques" и "Le çons sur le Calcul des Foncti ons"). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations). Простейшие вопросы В. исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию от <i>x</i>, которая, будучи подставлена вместо <i>у</i> в данную функцию <i>F</i> от <i>х</i>, <i> у</i>,<i> dy</i>/<i>dx</i>,<i> d</i><sup>2</sup><i>y</i>/<i>dx</i><sup>2</sup>..., дала бы интегралу наибольшую или наименьшую величину, при предположении, что <i>х</i> <sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub>, а также и соответствующие им <i>у</i> <sub>1</sub> и <i>у</i> <sub>2</sub> имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет где <i>x</i><sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub> суть абциссы данных точек. Другой пример: требуется провести такую кривую <i>y = f</i>(<i>x</i>) между двумя точками (<i>х</i> <sub>1</sub>, <i> у</i> <sub>1</sub>)<i> </i> и (<i>x</i><sub>2</sub>,<i> y</i><sub>2</sub>) на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг оси <i>X</i> -ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет: Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов: <i>вариация</i> и <i>вариирование</i>. Предположим, что искомая функция <i>f</i>(<i>x</i>) найдена и что проведена кривая линия <i>y = f</i>(<i>x</i>), делающая интеграл <i>S</i> наибольшим или наименьшим. В функции <i>f</i>(<i>x</i>), кроме <i>x</i> заключается один или несколько <i>параметров</i>, в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Под <i>вариацией</i> от <i>у</i> подразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординаты <i>у</i> есть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через δ <i>у</i>. Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметры <i>f</i>(<i>x</i>) суть α,<i> </i> β,<i> </i> γ; бесконечно малые приращения их означим через δα,<i> </i> δβ,<i> </i> δγ <i>.</i> Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить δ <i>у</i> так: δ <i>y = </i>[<i>df</i>(<i>x</i>)/<i>d</i> α ] δα <i> + </i>[<i>df</i>(<i>x</i>)/<i>d</i> β ] δβ <i> + </i>[<i>df</i>(<i>x</i>)/<i>d</i> γ ] δγ <i>. </i> Следовательно, варьирование ординаты <i>у</i>, или <i>f</i>(<i>х</i>) может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой. При варьировании <i>f</i>(<i>х</i>) производные <i>у‘</i>,<i> y"</i> … от функции по <i>x</i> также получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так: δ <i>у‘</i>,<i> </i> δ <i>y"</i>,<i>…</i> Эти вариации производных можно представить так, например, δ <i>у‘</i>: δ <i>y‘ = </i>(<i>ddy</i>/<i>d</i> α <i>dx</i>) δα <i> + </i>(<i>ddy</i>/<i>d</i> β <i>dx</i>) δβ <i> + </i>(<i>ddy</i>/<i>d</i> γ <i>dx</i>) δγ а так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абцисс <i>x</i>,<i> </i> то можно переменить порядок действий получения производных по <i> x</i> и по параметрам; самые приращения δα,<i> </i> δβ,<i> </i> δγ от <i>x</i> не зависят, а потому: δ <i>y‘ = d</i>/<i>dx</i>[(<i>dy</i>/<i>d</i> α) δα <i> + </i>(<i>dy</i>/<i>d</i> β) δβ <i> + </i>(<i>dy</i>/<i>d</i> γ) δγ ]<i> = d</i> δ <i>y</i>/<i>dx </i>(<i>A</i>)<i>. </i> Точно так же можно показать, что: δ <i>y" = d</i><sup>2</sup> δ <i>y</i>/<i>dx</i><sup>2<i> </i></sup>,…(<i>A</i><sub>1</sub>)<i> </i> и т. д. При варьировании <i>у</i>, функция <i>F</i>(<i>x</i>, <i>y</i>, <i> у‘</i>, <i> у"</i>,<i>... </i>)<i> </i> получает приращение, равное: Δ <i>F = F</i>(<i>x</i>,<i> y + </i> δ <i>y</i>,<i> y‘ + </i> δ <i>y‘</i>,…)<i> — F</i>(<i>x</i>,<i> y</i>,<i> y‘</i>,…)<i>. </i> Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций δ <i>y</i>,<i> </i> δ <i>y‘</i>,<i> </i> δ <i>y".</i> Вариацией первого порядка функции <i>F</i> называется та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций δ <i>у</i>,<i> </i> δ <i>y‘</i>,<i> </i> δ <i>y<sup>"</sup></i> … Эта вариация первого порядка от <i>F</i> обозначается также знаком δ, так что δ <i>F = </i>(<i>dF</i>/<i>dy</i>) δ <i>y + </i>(<i>dF</i>/<i>dy‘</i>) δ <i>y‘ + </i>(<i>dF</i>/<i>dy"</i>) δ <i>y" + </i>… Удвоенную сумму тех членов приращения <i>F</i>, которые заключают вторые степени и произведения вариаций δ <i>у</i>,<i> </i> δ <i>у</i>,<i> </i> δ <i>у"</i>… по две, называют вариацией второго порядка от функции <i>F</i> и обозначают ее так: δ <sup>2</sup><i>F. </i> Если составить выражение приращения, получаемого интегралом (<i>S</i>), при варьировании ординаты <i>у</i> , то найдем, что оно равняется интегралу от Δ <i>F</i> и поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интеграла <i>S</i>: Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка: Составленное выражение δ <i>S</i> может быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только δ <i>у</i>, но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства (<i>А</i>),<i> </i>(<i>А</i> <sub>1</sub>) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной по <i>x </i> от δ <i>у</i>. Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что δ <i>у</i> <sub>1</sub><i> = </i> 0 и δ <i>у</i> <sub>2</sub><i> = </i> 0 (так как <i>y</i><sub>1</sub> и <i>у</i> <sub>2 </sub> имеют данные постоянные значения), получим: где (<i>F</i>)<i> = dF</i>/<i>dy — d</i>/<i>dx</i>(<i>dF</i>/<i>dy‘</i>)<i> + d</i><sup>2</sup>/<i>dx</i><sup>2</sup>(<i>dF</i>/<i>dy"</i>) Для того, чтобы интеграл <i>S</i> был наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы δ <i>S</i> была равна нулю, какою бы функцией от <i>x</i> ни была δ <i>у</i>; а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций δ <i>у</i> возможно только тогда, когда (<i>F</i>) <i>= </i>0<i>.</i> Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функция <i>у</i> = <i>f</i>(<i>x</i>), делающая <i>S</i> наибольшим или наименьшим. Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению: из которого следует, что <i>у‘</i> = <i>С</i> и <i>у</i> = <i>Сх + С</i> <sub>1</sub>,<i> </i> где <i>С</i> и <i>C</i><sub>1</sub> — постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия — прямая. Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией. С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интеграл <i>S</i> наибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс ("Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii", "Gesammelte Werke" Bd. V); Пуассон (в "M émoires de l‘Acadé mie des Sciences", vol. 12, 1833) — в применении к двойным интегралам; Остроградский ("M é moire sur le calcul des variations des integrales multiples", в "Mem. de l‘Acad. des Sciences de S-P é tersb." 1838; "Crelle‘s Journal", vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби ("Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen", в "Gesam. Werke", т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариационного исчисления может служить: "Calcul des Variations р. Moigno et Lindel ö f" (1861, четвертый том "Le ç ons de Calcul differentiel et integral p. Moigno"). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: "A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century", 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: Дифференциальные уравнения движения, Действие (начало наименьшего действия), Начало Гамильтона. <i> Д. Бобылев. </i><br><br><br>... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
раздел мате-.матики, посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора одной или нескольких функций при разного... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕраздел математики, занимающийся решением задач, связанных с отысканием экстремальных значений; одной из таких задач является нахождение кривой, обращающей некоторую величину в минимум (или в максимум). И.Ньютон решил задачу такого типа, найдя форму поверхности вращения, при которой тело, двигаясь в сплошной среде, испытывает наименьшее сопротивление. Свои результаты Ньютон изложил в Математических началах натуральной философии (1687). В 1696 И.Бернулли сформулировал задачу о брахистохроне, или кривой наискорейшего спуска: найти траекторию, соединяющую две точки в вертикальной плоскости, двигаясь по которой материальная частица под действием только силы тяжести переместится из одной точки в другую за кратчайшее время. Различными методами и независимо друг от друга И.Бернулли и его брат Якоб доказали, что такой кривой является циклоида. Общая задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы среди всех непрерывных дуг y = y(x), соединяющих две точки P1(x1, y1) и P2(x2, y2) плоскости и имеющих непрерывно поворачивающиеся касательные, найти такую дугу, для которой не обращающийся в бесконечность интегралпринимал экстремальное значение. В 1744 Л.Эйлер опубликовал теорему, ставшую основой всего вариационного исчисления: всякая функция y, обращающая в минимум или максимум интеграл J, должна удовлетворять дифференциальному уравнениюДругие необходимые условия были открыты А.Лежандром в 1786, К.Якоби в 1837 и К.Вейерштрассом. В 1879 Вейерштрасс доказал ряд достаточных условий, позволяющих установить, доставляет ли та или иная дуга экстремальное значение интегралу J.Наглядным примером применения общей теории вариационного исчисления на плоскости служит задача о нахождении поверхности вращения с минимальной площадью, которая была изучена одной из первых. Любая дуга y = y(x), соединяющая две точки P1 и P2 на плоскости xy, порождает поверхность вращения вокруг оси x, площадь которой равнаМинимизирующая дуга должна принадлежать двупараметрическому семейству цепных линийкоторое является общим решением уравнения Эйлера. Существование минимума проверяется с помощью теоремы Вейерштрасса о достаточном условии. Такую минимальную поверхность можно наглядно продемонстрировать посредством соответствующих физических приспособлений. Изготовим проволочную рамку, в которой осью x служит проволока, соединяющая центры двух колец с радиусами y1 и y2; каждое кольцо расположено в плоскости, перпендикулярной оси x. Если такую рамку опустить в мыльный раствор и затем вынуть, то оставшаяся на ней мыльная пленка примет форму минимальной поверхности, порожденной цепной линией (кольца должны находиться на небольшом расстоянии друг от друга).Рассматривались различные модификации этой простейшей задачи на плоскости. Концы дуги, один или оба, могут быть подвижными, как в задаче о нахождении кратчайшего расстояния между двумя кривыми на плоскости. Подробно изучалась задача о нахождении дуги y = y(x), для которой интеграл J принимает экстремальное значение, в то время как другой интегралостается постоянным. К задачам этого типа относится задача о нахождении плоской кривой заданной длины, ограничивающей наибольшую площадь. Такой кривой является окружность, но строгое доказательство этого утверждения непросто.В 1806 Ж.Лагранж обобщил полученные ранее результаты на случай (n + 1)-мерного пространства. Он сформулировал задачу следующим образом: среди непрерывных и имеющих непрерывные первые производные дуг yi = yi(x), i = 1, ..., n, соединяющих две точки P1(x1, y1(x1), ..., yn(x1)) и P2(x2, y1(x2), ..., yn(x2)) и удовлетворяющих множеству независимых уравнений ???(x, y1, ..., yn) = 0, ? = 1, ..., m < n, найти такую, для которой не обращающийся в бесконечность интегралпринимает экстремальное значение. Эта задача имеет многочисленные приложения в физике и механике. Современные математики рассмотрели и другие обобщения общей задачи вариационного исчисления и посвятили им множество работ.... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕматематическая наука, имеющая целью исследование изменений, происходящих в функции, если переменные, входящие в состав её, получ... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.<br><br><br>... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.<br>... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ , раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(от лат. variatio - изменение) - раздел математики, посвящённый нахождению наибольших и наименьших значений функционале в перем. величин, зависящих от ... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- раздел математики, посвященный нахождениюнаибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбораодной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). Кчислу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрическиезадачи.... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
раздел мате матики, посв. нахождению наиб. и наим. значений перем. величин, зависящих от выбора одной или неск. функций (такие величины наз. функционал... смотреть
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
variational calculation, calculus of variations* * *variational calculus
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
<math.> calculus of variations
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
calcolo delle variazioni
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
calculus of variations
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
calcul des variations
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Variationsrechnung
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
calculus of variations
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
варіаційне обчислення.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
варыяцыйнае злічэнне
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
вариациялық есептеу
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Variationsrechnung
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
• variační počet
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЦЕЛОМ
раздел математики, в к-ром применяются топологич. понятия н методы для качественного исследования вариационных задач - существование и оценка чи... смотреть